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By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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Beispiel Sei A = R × R und K = R. Die Abbildung ∧K : R × R2 −→ R2 , (k, (x, y)) → (k · x, k · y) (· bezeichnet die u ¨bliche Multiplikation von reellen Zahlen) ist eine ¨außere Verkn¨ upfung auf R2 mit dem Skalarbereich R. ¨ Definitionen Seien A und K nichtleere Mengen, R eine Aquivalenzrelation auf A, ◦ eine innere und ∧K eine a ußere Verkn¨ u pfung auf A. Man sagt ¨ • R ist mit ◦ vertr¨ aglich (kompatibel) :⇐⇒ ∀a, a , b, b ∈ A : ((a, b) ∈ R ∧ (a , b ) ∈ R) =⇒ (a ◦ a , b ◦ b ) ∈ R. aglich :⇐⇒ • R ist mit ∧K vertr¨ ∀a, b ∈ A ∀k ∈ K : (a, b) ∈ R =⇒ (k ∧K a, k ∧K b) ∈ R.

Die so erhaltene Darstellung von f nennt man disjunktive Normalform von f . : DNF) beschreiben: f (a1 , . . , an ) · xa1 1 · xa2 2 · . . · xann , f (x1 , . . , falls f nicht nur den Wert 0 annimmt, xa1 1 · xa2 2 · . . · xann . f (x1 , . . ,an )=1 (Obige Formeln besagen, daß f¨ ur jedes Tupel (a1 , . . 6 Boolesche Funktionen 41 f (a1 , . . , an ) ∧ xa1 1 ∧ . . ∧ xann bzw. xa1 1 ∧ . . ∧ xann aufgeschrieben wird. Anschließend werden dann diese Konjunktionen durch ∨ miteinander verkn¨ upft.

A ∧ B) =⇒ (B ∨ (C =⇒ A))). Ausf¨ uhrlich behandeln wir das nachfolgend. Beschreibung von Booleschen Funktionen mittels Boolescher Terme (Formeln, Ausdr¨ ucke) Da eine Tabellendarstellung Boolescher Funktionen nur sehr eingeschr¨ankt verwendbar ist, besteht ein naheliegender Gedanke darin, sie durch Formeln zu beschreiben. Definition (a) Die Konstanten 0, 1 sowie die Variablen x, y, z, . . , x1 , x2 , x3 , . . sind f¨ ur sich genommen Boolesche Terme (Formeln, Ausdr¨ ucke). (b) Ist A ein Boolescher Term, so auch A (bzw.

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